4. Упростить выражение: 1) $\sin(\alpha-\beta)-\sin\left(\frac\pi2-\alpha\right)\sin(-\beta)$; 2) $\cos^2(\pi-\alpha)-\cos^2\left(\frac\pi2-\alpha\right)$; 3) $2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Упростить выражение: 1) $\sin(\alpha-\beta)-\sin\left(\frac\pi2-\alpha\right)\sin(-\beta)$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем формулы $\sin\left(\frac\pi2-\alpha\right)=\cos\alpha$ и $\sin(-\beta)=-\sin\beta$:
\[\sin(\alpha-\beta)-\cos\alpha(-\sin\beta)=\sin(\alpha-\beta)+\cos\alpha\sin\beta.\]
Раскрываем разность синусов:
\[\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.\]
Поэтому \[\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin\alpha\cos\beta.\]
Так как $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$, а $\cos\left(\frac\pi2-\alpha\right)=\sin\alpha$, получаем
\[\cos^2(\pi-\alpha)-\cos^2\left(\frac\pi2-\alpha\right)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos2\alpha.\]
По формуле косинуса суммы:
\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.\]
Тогда
\[2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)=2\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta.\]
По формуле косинуса разности:
\[\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta=\cos(\alpha-\beta).\]

Ответ: 1) $\sin\alpha\cos\beta$; 2) $\cos2\alpha$; 3) $\cos(\alpha-\beta)$.

4. Упростить выражение: 1) \(\sin(\alpha-\beta)-\sin\left(\frac\pi2-\alpha\right)\sin(-\beta)\); 2) \(\cos^2(\pi-\alpha)-\cos^2\left(\frac\pi2-\alpha\right)\); 3) \(2\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)\).