3. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Они пересекаются в точке O.

1. Из теоремы о биссектрисе угла следует, что точка O равноудалена от сторон AB и AC (так как лежит на биссектрисе AD).
2. Также точка O равноудалена от сторон AB и BC (так как лежит на биссектрисе BE).
3. Следовательно, точка O равноудалена от всех трех сторон треугольника: AC, AB и BC.
4. Рассмотрим третью биссектрису CF. Так как точка O равноудалена от сторон AC и BC, она должна лежать на биссектрисе CF (по обратному утверждению теоремы о биссектрисе угла).
5. Таким образом, все три биссектрисы пересекаются в одной точке O. Эта точка называется центром вписанной окружности треугольника.