5. Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку:

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство:

1. Пусть дан отрезок AB, и l — его серединный перпендикуляр. Пусть M — середина отрезка AB, а прямая l проходит через M и перпендикулярна AB.
2. Возьмём произвольную точку P на прямой l.
3. Рассмотрим треугольники PAM и PBM.
4. Угол PMA равен углу PMB (по условию, так как l перпендикулярна AB, и оба угла равны 90°).
5. Сторона AM равна стороне BM (по условию, так как M — середина AB).
6. Сторона PM — общая.
7. Следовательно, треугольники PAM и PBM равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
8. Из равенства треугольников следует, что PA = PB.
9. Таким образом, любая точка P на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка AB.