3. Докажите, что четырехугольник — параллелограмм: а) фигура 5: угол между продолжением HB и BF равен 50°, угол между продолжением LB и BK равен 50°; б) фигура 8: четырехугольник AMLK, ∠A = 70°, ∠M = 110°, AM = LK; в) фигура 11: четырехугольник KPRQ, диагонали KR и QP пересекаются в F, KF = FR = 3, QF = FP = 4.

а) Фигура 5. Угол между продолжением HB и BF равен внешнему углу при B, поэтому внутренний угол FBA равен 180° − 50° = 130°. Угол BLA равен 50°. Четырехугольник, изображенный внутри, — FBLA; для него углы при B и L в сумме дают 180°: 130° + 50° = 180°. Значит, BF ∥ AL. Также отмеченные углы при основании равны: ∠FBA и ∠BAL по 50° на рисунке? Данных недостаточно для установления равенства противоположных сторон или второй пары параллельных сторон. Следовательно, по указанным данным доказать, что FBLA — параллелограмм, нельзя: требуется уточнить, какая именно фигура и какие углы обозначены.

б) Фигура 8. В четырехугольнике AMLK сумма внутренних углов равна 360°. Поэтому ∠L + ∠K = 360° − 70° − 110° = 180°. Следовательно, AM ∥ LK. Так как по отметкам AM = LK, четырехугольник имеет одну пару противоположных сторон, которые одновременно параллельны и равны; значит, AMLK — параллелограмм.

в) Фигура 11. Диагонали KR и QP пересекаются в F, причём KF = FR = 3 и QF = FP = 4. Значит, F — середина обеих диагоналей. Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: б) и в) доказаны по приведённым данным; для а) необходима более чёткая формулировка отметок/углов на рисунке.