3. Докажите, что четырёхугольник MNKP, заданный координатами своих вершин M(2; 2), N(5; 3), K(6; 6), P(3; 5), является ромбом, и вычислите его площадь.

Найдём векторы сторон по порядку обхода вершин:

\(\overrightarrow{MN}=(5-2;3-2)=(3;1)\), \(\overrightarrow{NK}=(6-5;6-3)=(1;3)\), \(\overrightarrow{KP}=(3-6;5-6)=(-3;-1)\), \(\overrightarrow{PM}=(2-3;2-5)=(-1;-3)\).

Длины всех сторон равны:

\(|MN|=|NK|=|KP|=|PM|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\). Значит, четырёхугольник MNKP — ромб.

Площадь найдём как модуль определителя двух соседних сторон:

\(S=|3\cdot3-1\cdot1|=|9-1|=8\).

Ответ: MNKP — ромб, его площадь равна 8 квадратным единицам.