3. Докажите, что четырёхугольник MNKP, заданный своими координатами M(2;2), N(5;3), K(6;6), P(3;5) является ромбом и найдите его площадь.

Найдём координаты его сторон:

\[\overrightarrow{MN}=(5-2;3-2)=(3;1),\]

\[\overrightarrow{NK}=(6-5;6-3)=(1;3),\]

\[\overrightarrow{KP}=(3-6;5-6)=(-3;-1),\]

\[\overrightarrow{PM}=(2-3;2-5)=(-1;-3).\]

Видно, что \(\overrightarrow{KP}=-\overrightarrow{MN}\), а \(\overrightarrow{PM}=-\overrightarrow{NK}\). Значит, противоположные стороны параллельны и четырёхугольник \(MNKP\) является параллелограммом.

Длины всех его сторон равны:

\[|MN|=|KP|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10},\]

\[|NK|=|PM|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.\]

Следовательно, параллелограмм с равными сторонами является ромбом.

Площадь ромба найдём как модуль определителя двух соседних сторон:

\[S=\left|\begin{vmatrix}3&1\\1&3\end{vmatrix}\right|=|3\cdot3-1\cdot1|=8.\]

Ответ: \(MNKP\) — ромб; его площадь равна \(8\) квадратным единицам.