3. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка пересечения делит каждую из медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Пусть вершины треугольника имеют координаты A, B, C, а их радиус-векторы обозначены соответственно \(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c\). Введём точку G с радиус-вектором \(\mathbf g=\frac{\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c}{3}\).

1. Пусть M — середина BC. Тогда \(\mathbf m=\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}\). Следовательно, \(\mathbf g=\frac13\mathbf a+\frac23\mathbf m\). Это означает, что G лежит на медиане AM и \(AG:GM=2:1\).

2. Аналогично, если N — середина AC, то \(\mathbf n=\frac{\mathbf a+\mathbf c}{2}\), и \(\mathbf g=\frac13\mathbf b+\frac23\mathbf n\). Значит, G лежит и на медиане BN, причём \(BG:GN=2:1\).

3. Если P — середина AB, то \(\mathbf p=\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2}\), откуда \(\mathbf g=\frac13\mathbf c+\frac23\mathbf p\). Значит, G лежит на третьей медиане и \(CG:GP=2:1\).

Итак, все три медианы проходят через одну точку G, и каждая медиана делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Что и требовалось доказать.