3. Докажите, что параллелограмм, у которого углы равны, а диагонали перпендикулярны, является квадратом.

Пусть у параллелограмма все углы равны. Сумма соседних углов равна 180°, поэтому каждый угол равен \(180°:2=90°\). Следовательно, этот параллелограмм является прямоугольником.

Обозначим соседние стороны прямоугольника через \(a\) и \(b\). Его диагонали можно задать векторами \((a,b)\) и \((a,-b)\). Их скалярное произведение равно \(a²-b²\). Так как диагонали перпендикулярны, скалярное произведение равно нулю: \(a²-b²=0\), откуда \(a²=b²\). Поскольку длины сторон положительны, \(a=b\).

Итак, параллелограмм является прямоугольником с равными сторонами, то есть квадратом.