3. Докажите, что при любых допустимых переменных значения выражений не зависят от $x$ и $y$: $\frac{2y^2}{xy+2y^2}-\frac{2xy-x^2}{x^2-4y^2}$; $\frac{x^2+2xy}{x^2-4y^2}+\frac{2y^2}{2y^2-xy}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при любых допустимых переменных значения выражений не зависят от $x$ и $y$:…$ Фото задания

3. Докажите, что при любых допустимых переменных значения выражений не зависят от $x$ и $y$: $\frac{2y^2}{xy+2y^2}-\frac{2xy-x^2}{x^2-4y^2}$; $\frac{x^2+2xy}{x^2-4y^2}+\frac{2y^2}{2y^2-xy}$.

Accepted Answer

Для первого выражения разложим знаменатели и числитель: $xy+2y^2=y(x+2y)$, $x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y)$, $2xy-x^2=-x(x-2y)$. Тогда
$\frac{2y^2}{xy+2y^2}-\frac{2xy-x^2}{x^2-4y^2}=\frac{2y}{x+2y}-\left(-\frac{x}{x+2y}\right)=1$.
Для второго выражения используем разложения $x^2+2xy=x(x+2y)$, $x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y)$, $2y^2-xy=-y(x-2y)$:
$\frac{x^2+2xy}{x^2-4y^2}+\frac{2y^2}{2y^2-xy}=\frac{x}{x-2y}-\frac{2y}{x-2y}=1$.

В первом выражении требуется $y\ne0$ и $x\ne-2y$, во втором — $x\ne2y$, $x\ne-2y$, $y\ne0$. Следовательно, каждое выражение равно постоянному числу 1 при всех значениях переменных, для которых оно определено.

3. Докажите, что при любых допустимых переменных значения выражений не зависят от \(x\) и \(y\): \(\frac{2y^2}{xy+2y^2}-\frac{2xy-x^2}{x^2-4y^2}\); \(\frac{x^2+2xy}{x^2-4y^2}+\frac{2y^2}{2y^2-xy}\).

Ответ: