3. Докажите, что при всех допустимых значениях \(a\) выражение \(\frac{4(a+1)}{a^3-8}+\frac{a}{a^2+2a+4}+\frac{1}{2-a}\) тождественно равно нулю.

Разложим разность кубов и учтём, что \(2-a=-(a-2)\):

\[a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4),\qquad \frac{1}{2-a}=-\frac{1}{a-2}.\]

Допустимые значения: \(a\ne2\). Приведём слагаемые к общему знаменателю \((a-2)(a^2+2a+4)\):

\[\frac{4(a+1)+a(a-2)-(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)}.\]

Числитель равен \(4a+4+a^2-2a-a^2-2a-4=0\). Поэтому при каждом допустимом \(a\) значение выражения равно нулю.