3. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ выражение тождественно равно нулю: $\frac{4(a+1)}{a^3-8}+\frac{a}{a^2+2a+4}+\frac{1}{2-a}$; $\frac{2a+1}{a^3-1}+\frac{a}{a^2+a+1}+\frac{1}{1-a}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ выражение тождественно равно нулю:…$ Фото задания

Accepted Answer

Допустимые значения: $a\ne2$. Используем разложение $a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)$ и равенство $\frac{1}{2-a}=-\frac{1}{a-2}$. Приводим к общему знаменателю:
\[\frac{4(a+1)+a(a-2)-(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)}=\frac{0}{(a-2)(a^2+2a+4)}=0.\]
Допустимые значения: $a\ne1$. Так как $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$ и $\frac{1}{1-a}=-\frac{1}{a-1}$, получаем:
\[\frac{2a+1+a(a-1)-(a^2+a+1)}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{0}{(a-1)(a^2+a+1)}=0.\]

Ответ: оба выражения тождественно равны нулю при всех допустимых значениях $a$.

3. Докажите, что при всех допустимых значениях \(a\) выражение тождественно равно нулю: \(\frac{4(a+1)}{a^3-8}+\frac{a}{a^2+2a+4}+\frac{1}{2-a}\); \(\frac{2a+1}{a^3-1}+\frac{a}{a^2+a+1}+\frac{1}{1-a}\).