3. Докажите, что при всех значениях $c\ne\pm9$ значение выражения $\dfrac{c}{c+9}-\dfrac{(c-9)^2}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{c^2-81}+\dfrac{1}{c^2-18c+81}\right)$ не зависит от $c$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех значениях $c\ne\pm9$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители:

$c^2-81=(c-9)(c+9)$, $c^2-18c+81=(c-9)^2$.

Сложим дроби в скобках:

$\dfrac{1}{(c-9)(c+9)}+\dfrac{1}{(c-9)^2}=\dfrac{(c-9)+(c+9)}{(c-9)^2(c+9)}=\dfrac{2c}{(c-9)^2(c+9)}.$

Подставим результат в исходное выражение и сократим:

$\dfrac{c}{c+9}-\dfrac{(c-9)^2}{2}\cdot\dfrac{2c}{(c-9)^2(c+9)}=\dfrac{c}{c+9}-\dfrac{c}{c+9}=0.$

При $c\ne\pm9$ исходные знаменатели не равны нулю, поэтому преобразования допустимы. Значение выражения постоянно и не зависит от $c$.

Ответ: выражение равно 0 при всех допустимых значениях $c$.

3. Докажите, что при всех значениях \(c\ne\pm9\) значение выражения \(\dfrac{c}{c+9}-\dfrac{(c-9)^2}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{c^2-81}+\dfrac{1}{c^2-18c+81}\right)\) не зависит от \(c\).