3. Докажите, что при всех значениях $c\ne\pm9$ значение выражения $\frac{c}{c+9}-\frac{(c-9)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{c^2-81}+\frac{1}{c^2-18c+81}\right)$ не зависит от $c$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех значениях $c\ne\pm9$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $c^2-81=(c-9)(c+9)$, $c^2-18c+81=(c-9)^2$.

Сложим дроби в скобках:

\[\frac{1}{(c-9)(c+9)}+\frac{1}{(c-9)^2}=\frac{(c-9)+(c+9)}{(c-9)^2(c+9)}=\frac{2c}{(c-9)^2(c+9)}.\]

Подставим результат в выражение:

\[\frac{c}{c+9}-\frac{(c-9)^2}{2}\cdot\frac{2c}{(c-9)^2(c+9)}=\frac{c}{c+9}-\frac{c}{c+9}=0.\]

Ограничения $c\ne\pm9$ обеспечивают ненулевые знаменатели. Следовательно, значение выражения постоянно.

Ответ: выражение не зависит от $c$ и всегда равно $0$.

3. Докажите, что при всех значениях \(c\ne\pm9\) значение выражения \(\frac{c}{c+9}-\frac{(c-9)^2}{2}\cdot\left(\frac{1}{c^2-81}+\frac{1}{c^2-18c+81}\right)\) не зависит от \(c\).