3. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения $\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{(x-2)^2}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{1}{x^2-4x+4}\right)$ не зависит от $x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2-4x+4=(x-2)^2$. Тогда при $x\ne\pm2$:

$\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{1}{x^2-4x+4}=\dfrac{1}{(x-2)(x+2)}+\dfrac{1}{(x-2)^2}=\dfrac{(x-2)+(x+2)}{(x-2)^2(x+2)}=\dfrac{2x}{(x-2)^2(x+2)}$.

Подставим это в выражение:

$\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{(x-2)^2}{2}\cdot\dfrac{2x}{(x-2)^2(x+2)}=\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{x}{x+2}=0$.

Получили постоянное значение, не зависящее от $x$.

Ответ: выражение постоянно и равно 0.

3. Докажите, что при всех значениях \(x\ne\pm2\) значение выражения \(\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{(x-2)^2}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{1}{x^2-4x+4}\right)\) не зависит от \(x\).