3. Докажите, что при всех значениях $y\ne\pm3$ значение выражения $\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\left(\frac{2}{9-6y+y^2}+\frac{1}{9-y^2}\right)$ не зависит от $y$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите, что при всех значениях $y\ne\pm3$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители: $9-6y+y^2=(y-3)^2$, а $9-y^2=(3-y)(3+y)$. С учётом условия $y\ne\pm3$ все знаменатели не равны нулю.

$\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\left(\frac{2}{(y-3)^2}+\frac{1}{(3-y)(3+y)}\right)$

Так как $(3-y)(3+y)=-(y-3)(y+3)$, получаем:

$=\frac{2y}{y+3}+2-\frac{y-3}{y+3}=2+\frac{2y-y+3}{y+3}=2+1=3$.

Получилось постоянное значение, не зависящее от допустимого значения $y$.

Ответ: выражение равно 3.

3. Докажите, что при всех значениях \(y\ne\pm3\) значение выражения \(\frac{2y}{y+3}+(y-3)^2\left(\frac{2}{9-6y+y^2}+\frac{1}{9-y^2}\right)\) не зависит от \(y\).