3. Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через точку пересечения его диагоналей.

Пусть ABCD — параллелограмм, M и N — середины противоположных сторон AB и CD, а O — точка пересечения диагоналей.

1. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина AC.
2. В треугольнике ABC точки M и O — середины сторон AB и AC соответственно. По теореме о средней линии треугольника отрезок MO параллелен BC.
3. Так как в параллелограмме BC ∥ AD и AD = BC, то для положения точки N на CD также получаем, что прямая через середины AB и CD содержит точку O. Это можно увидеть, например, из координат: если A = (0,0), B = u, D = v, то C = u + v; тогда M = u/2, N = v + u/2, а O = (u + v)/2 = (M + N)/2. Значит, O лежит на прямой MN.

Следовательно, прямая, проходящая через середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через точку пересечения его диагоналей.