3) Докажите, что трёхчлен −x² + 4x − 5 всегда принимает отрицательные значения.

Выделим полный квадрат:

\(-x^2+4x-5=-(x^2-4x+5)=-((x-2)^2+1)=-(x-2)^2-1\).

Так как \((x-2)^2\geqslant 0\), то \(-(x-2)^2\leqslant 0\). Следовательно,

\(-(x-2)^2-1\leqslant -1<0\).

Значит, при любом действительном значении \(x\) трёхчлен принимает отрицательное значение.

Ответ: −x² + 4x − 5 < 0 при всех x.