3. Докажите, что выражение \(\dfrac{a^5b^4-a^4b^5}{(a-b)^2+ab}\cdot\left(\dfrac1{a^3}+\dfrac1{b^3}\right)\) равно целому выражению.

Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители:

\(a^5b^4-a^4b^5=a^4b^4(a-b)\), а \((a-b)^2+ab=a^2-ab+b^2\).

Сложим дроби во второй скобке, используя сумму кубов:

\(\dfrac1{a^3}+\dfrac1{b^3}=\dfrac{a^3+b^3}{a^3b^3}=\dfrac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3b^3}\).

Сократим общий множитель \(a^2-ab+b^2\) и степени:

\(\dfrac{a^4b^4(a-b)}{a^2-ab+b^2}\cdot\dfrac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^3b^3}=ab(a-b)(a+b)=ab(a^2-b^2)\).

Ответ: \(ab(a^2-b^2)\).