3. Докажите неравенство: 1) (a − 8)(a + 7) > (a + 10)(a − 1); 2) (a − 6)² − 2 < (a − 5)(a − 7); 3) (2a − 5)(2a + 5) − (3a − 2)² ≤ 3(4a − 6) − 2.

1. Раскроем скобки:

   (a−8)(a+7)=a²−a−56, (a+10)(a−1)=a²+9a−10.

   Тогда неравенство равносильно:

   a²−a−56>a²+9a−10;

   −10a−46>0;

   a<−4,6.

   Следовательно, первое неравенство выполняется не при всех значениях a, а только при a < −4,6.

2. Преобразуем левую и правую части:

   (a−6)²−2=a²−12a+34;

   (a−5)(a−7)=a²−12a+35.

   Так как a²−12a+34<a²−12a+35, неравенство верно при любом значении a.

3. Раскроем скобки:

   (2a−5)(2a+5)−(3a−2)²=4a²−25−(9a²−12a+4)=−5a²+12a−29.

   Правая часть равна:

   3(4a−6)−2=12a−20.

   Получаем:

   −5a²+12a−29≤12a−20;

   −5a²−9≤0;

   5a²+9≥0.

   Последнее неравенство верно при любом действительном a, так как 5a²≥0.

Ответ: 1) при a < −4,6; 2) верно при любом a; 3) верно при любом a.