3. Докажите равенство sin 2α = 2tga / (1 + tg^2 α), если α ≠ π/2 + πn, n ∈ Z.

3. Доказательство равенства:

Начнем с правой части равенства:

\[ \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha} \]

Вспомним, что \( \operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \> и \( 1+\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \> (при условии \\(\alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \>\).

Подставим эти выражения в дробь:

\[ \frac{2 \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{1}{\cos^2\alpha}} = 2 \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos^2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha \]

Используя формулу двойного угла для синуса, \( \sin\(2\alpha\) = 2 \(\sin\)\(\alpha\) \(\cos\)\(\alpha\) \>, получим:

\[ 2 \sin\alpha \cos\alpha = \sin(2\alpha) \]

Таким образом, мы доказали, что \( \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha} = \sin\(2\alpha\) \>.

Доказано.