3. Докажите тождество $\frac{9-p^2}{3p+9}\cdot\frac{p^2}{(3-p)^2}+\frac{p}{p-3}=-\frac{p}{3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите тождество $\frac{9-p^2}{3p+9}\cdot\frac{p^2}{(3-p)^2}+\frac{p}{p-3}=-\frac{p}{3}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений: $p\ne-3$ и $p\ne3$.

Разложим разность квадратов и знаменатели на множители:

$\frac{9-p^2}{3p+9}\cdot\frac{p^2}{(3-p)^2}+\frac{p}{p-3}=\frac{(3-p)(3+p)}{3(p+3)}\cdot\frac{p^2}{(3-p)^2}+\frac{p}{p-3}$.

Сократим множители и используем равенство $3-p=-(p-3)$:

$=-\frac{p^2}{3(p-3)}+\frac{p}{p-3}=\frac{-p^2+3p}{3(p-3)}=\frac{-p(p-3)}{3(p-3)}=-\frac{p}{3}$.

Левая часть равна правой при всех допустимых значениях $p$; тождество доказано.

3. Докажите тождество \(\frac{9-p^2}{3p+9}\cdot\frac{p^2}{(3-p)^2}+\frac{p}{p-3}=-\frac{p}{3}\).