3. Докажите тождество $\frac{k}{k-m}+\frac{m^2-k^2}{mk+m^2}:\frac{m^2-2mk+k^2}{k^2}=-\frac{k}{m}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите тождество $\frac{k}{k-m}+\frac{m^2-k^2}{mk+m^2}:\frac{m^2-2mk+k^2}{k^2}=-\frac{k}{m}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Рассмотрим левую часть, выполняя деление раньше сложения. Разложим выражения на множители:

$\frac{k}{k-m}+\frac{(m-k)(m+k)}{m(m+k)}:\frac{(m-k)^2}{k^2}$.

Сократим дробь во второй части и заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{k}{k-m}+\frac{m-k}{m}\cdot\frac{k^2}{(m-k)^2}= -\frac{k}{m-k}+\frac{k^2}{m(m-k)}$.

Приведём слагаемые к общему знаменателю:

$\frac{-km+k^2}{m(m-k)}=\frac{k(k-m)}{m(m-k)}=-\frac{k}{m}$.

Тождество доказано при допустимых значениях: $k\ne0$, $m\ne0$, $k\ne m$, $m\ne-k$.

3. Докажите тождество \(\frac{k}{k-m}+\frac{m^2-k^2}{mk+m^2}:\frac{m^2-2mk+k^2}{k^2}=-\frac{k}{m}\).