3. Докажите тождество: $\left(\dfrac{2x+5}{x^2+4x+4}-\dfrac{x+3}{x^2+2x}\right):\dfrac{x^2-9}{x^3-4x}=\dfrac{x-2}{x+2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите тождество: $\left(\dfrac{2x+5}{x^2+4x+4}-\dfrac{x+3}{x^2+2x}\right):\dfrac{x^2-9}{x^3-4x}=\dfrac{x-2}{x+2}$.$ Фото задания

3. Докажите тождество: $\left(\dfrac{2x+5}{x^2+4x+4}-\dfrac{x+3}{x^2+2x}\right):\dfrac{x^2-9}{x^3-4x}=\dfrac{x-2}{x+2}$.

Accepted Answer

Разложим многочлены на множители:

$x^2+4x+4=(x+2)^2,\quad x^2+2x=x(x+2),\quad x^2-9=(x-3)(x+3),\quad x^3-4x=x(x-2)(x+2).$

Упростим выражение в скобках:

$\dfrac{2x+5}{(x+2)^2}-\dfrac{x+3}{x(x+2)}=\dfrac{x(2x+5)-(x+3)(x+2)}{x(x+2)^2}=\dfrac{x^2- x-6}{x(x+2)^2}=\dfrac{(x-3)(x+2)}{x(x+2)^2}=\dfrac{x-3}{x(x+2)}.$

Теперь разделим на вторую дробь:

$\dfrac{x-3}{x(x+2)}\cdot\dfrac{x(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x-2}{x+3}.$

Получается $\dfrac{x-2}{x+3}$, а не указанная в условии правая часть $\dfrac{x-2}{x+2}$. Следовательно, записанное равенство не является тождеством; вероятно, в правой части опечатка.

Ответ: тождество неверно; левая часть равна $\dfrac{x-2}{x+3}$.

3. Докажите тождество: \(\left(\dfrac{2x+5}{x^2+4x+4}-\dfrac{x+3}{x^2+2x}\right):\dfrac{x^2-9}{x^3-4x}=\dfrac{x-2}{x+2}\).

Ответ: