3. Докажите тождество: (x² + 3)² = (x² - 3)(x² + 3) + 6(x² + 3).

3. Доказательство тождества

Чтобы доказать тождество, раскроем скобки и упростим правую часть:

\[ (x^2 - 3)(x^2 + 3) + 6(x^2 + 3) \]

Первое произведение — это разность квадратов (a - b)(a + b) = a² - b², где a = x² и b = 3:

\[ (x^2 - 3)(x^2 + 3) = (x^2)^2 - 3^2 = x^4 - 9 \]

Второе произведение:

\[ 6(x^2 + 3) = 6x^2 + 18 \]

Теперь сложим полученные выражения:

\[ (x^4 - 9) + (6x^2 + 18) = x^4 + 6x^2 + 9 \]

Теперь рассмотрим левую часть тождества:

\[ (x^2 + 3)^2 \]

Это полный квадрат суммы (a + b)² = a² + 2ab + b², где a = x² и b = 3:

\[ (x^2 + 3)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 = x^4 + 6x^2 + 9 \]

Сравним полученные выражения:

\[ x^4 + 6x^2 + 9 = x^4 + 6x^2 + 9 \]

Левая часть тождества равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.