3) Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля.

Решение:

Пусть \( v_2 \) — скорость второго автомобиля (км/ч), а \( v_1 \) — скорость первого автомобиля (км/ч). Тогда \( v_1 = v_2 + 10 \).

Пусть \( t_2 \) — время в пути второго автомобиля (ч), а \( t_1 \) — время в пути первого автомобиля (ч). Расстояние \( S = 560 \) км.

По условию \( t_1 = t_2 - 1 \).

Время в пути первого автомобиля: \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{560}{v_2 + 10} \).

Время в пути второго автомобиля: \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{560}{v_2} \).

Подставим в уравнение \( t_1 = t_2 - 1 \):

\[ \frac{560}{v_2 + 10} = \frac{560}{v_2} - 1 \]\[ \frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_2 + 10} = 1 \]

Приведем к общему знаменателю \( v_2(v_2 + 10) \):

\[ \frac{560(v_2 + 10) - 560v_2}{v_2(v_2 + 10)} = 1 \]\[ \frac{560v_2 + 5600 - 560v_2}{v_2^2 + 10v_2} = 1 \]\[ \frac{5600}{v_2^2 + 10v_2} = 1 \]\[ v_2^2 + 10v_2 = 5600 \]\[ v_2^2 + 10v_2 - 5600 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = 10^2 - 4(1)(-5600) = 100 + 22400 = 22500 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150 \).

Найдем \( v_2 \):

\[ v_2 = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70 \]

Найдем \( v_1 \):

\[ v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80 \]

Проверим время:

\[ t_1 = \frac{560}{80} = 7 \text{ ч} \]\[ t_2 = \frac{560}{70} = 8 \text{ ч} \]

\( t_2 - t_1 = 8 - 7 = 1 \) ч. Условие выполнено.

Ответ: Скорость первого автомобиля — 80 км/ч, скорость второго автомобиля — 70 км/ч.