3. Две стороны треугольника равны 9 см и 21 см, а угол, противолежащий большей стороне, равен 135°. Найдите третью сторону треугольника.

Пусть третья сторона равна \(x\). Угол 135° лежит напротив стороны 21 см, поэтому по теореме косинусов:

\(21^2=9^2+x^2-2\cdot9\cdot x\cdot\cos135^\circ\).

Так как \(\cos135^\circ=-\dfrac{\sqrt2}{2}\), получаем \(441=81+x^2+9\sqrt2x\), то есть \(x^2+9\sqrt2x-360=0\).

Положительный корень: \(x=\dfrac{-9\sqrt2+\sqrt{1602}}{2}=\dfrac{3\sqrt{178}-9\sqrt2}{2}\). Отрицательный корень не подходит, поскольку длина стороны положительна.

Ответ: \(\dfrac{3\sqrt{178}-9\sqrt2}{2}\) см (примерно 13,65 см).