3. f(z) = \(\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}\); f' (2).

Решение:

Найдем производную функции \( f(z) = \frac{z}{\sqrt{1-z^2}} \). Используем правило частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Пусть \( u = z \) и \( v = \sqrt{1-z^2} = (1-z^2)^{1/2} \).

Найдем производные \( u \) и \( v \):

\( u' = \frac{d}{dz}(z) = 1 \)

\( v' = \frac{d}{dz}((1-z^2)^{1/2}) = \frac{1}{2}(1-z^2)^{1/2-1} \cdot \frac{d}{dz}(1-z^2) = \frac{1}{2}(1-z^2)^{-1/2} \cdot (-2z) = \frac{-z}{\sqrt{1-z^2}} \)

Теперь подставим в формулу производной частного:

\( f'(z) = \frac{1 \cdot \sqrt{1-z^2} - z \cdot \frac{-z}{\sqrt{1-z^2}}}{(\sqrt{1-z^2})^2} \)

\( f'(z) = \frac{\sqrt{1-z^2} + \frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}}{1-z^2} \)

Приведем числитель к общему знаменателю:

\( f'(z) = \frac{\frac{(\sqrt{1-z^2})^2 + z^2}{\sqrt{1-z^2}}}{1-z^2} = \frac{\frac{1-z^2 + z^2}{\sqrt{1-z^2}}}{1-z^2} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}}{1-z^2} \)

\( f'(z) = \frac{1}{(1-z^2)\sqrt{1-z^2}} = \frac{1}{(1-z^2)^{3/2}} \)

Теперь подставим \( z = 2 \):

\( f'(2) = \frac{1}{(1-2^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1-4)^{3/2}} = \frac{1}{(-3)^{3/2}} \)

Выражение \( (-3)^{3/2} \) не является действительным числом, так как под корнем получается отрицательное число. Это означает, что функция не дифференцируема в точке \( z=2 \) в действительных числах.

Ответ: Функция не дифференцируема в точке \( z=2 \) в действительных числах.