5. f(x) = ln\(\frac{1-x}{1+x}\); f' (1/3).

Решение:

Найдем производную функции \( f(x) = \ln(\frac{1-x}{1+x}) \). Сначала упростим логарифм, используя свойство \( \ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b) \).

\( f(x) = \ln(1-x) - \ln(1+x) \)

Теперь найдем производную. Производная \( \ln(u) \) равна \( \frac{u'}{u} \).

Производная \( \ln(1-x) \): \( u = 1-x \), \( u' = -1 \). Производная равна \( \frac{-1}{1-x} \).

Производная \( \ln(1+x) \): \( v = 1+x \), \( v' = 1 \). Производная равна \( \frac{1}{1+x} \).

Следовательно, \( f'(x) = \frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x} \).

Приведем к общему знаменателю:

\( f'(x) = \frac{-1(1+x) - 1(1-x)}{(1-x)(1+x)} \)

\( f'(x) = \frac{-1-x-1+x}{1-x^2} \)

\( f'(x) = \frac{-2}{1-x^2} \)

Теперь подставим \( x = \frac{1}{3} \):

\( f'(\frac{1}{3}) = \frac{-2}{1-(\frac{1}{3})^2} = \frac{-2}{1-\frac{1}{9}} = \frac{-2}{\frac{9-1}{9}} = \frac{-2}{\frac{8}{9}} \)

\( f'(\frac{1}{3}) = -2 \cdot \frac{9}{8} = -\frac{18}{8} = -\frac{9}{4} \)

Ответ: -\(\frac{9}{4}\)