3) $\frac{6+2i}{3-7i}-\frac{2+3i}{2+5i}+(1-i)^3-i^{23}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3) $\frac{6+2i}{3-7i}-\frac{2+3i}{2+5i}+(1-i)^3-i^{23}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Рационализируем знаменатели дробей, умножая числитель и знаменатель на сопряжённое число.

$\frac{6+2i}{3-7i}=\frac{(6+2i)(3+7i)}{3^2+7^2}=\frac{4+48i}{58}=\frac{2+24i}{29}.$

$\frac{2+3i}{2+5i}=\frac{(2+3i)(2-5i)}{2^2+5^2}=\frac{19-4i}{29}.$

Следовательно, разность дробей равна $\frac{2+24i-(19-4i)}{29}=\frac{-17+28i}{29}$.

$(1-i)^2=-2i$, поэтому $(1-i)^3=(-2i)(1-i)=-2-2i$. Также $i^{23}=i^3=-i$.

Складываем: $\frac{-17+28i}{29}-2-2i-i=\frac{-17+28i-58-87i}{29}=\frac{-75-59i}{29}$.

Ответ: $-\frac{75}{29}-\frac{59}{29}i$.

3) \(\frac{6+2i}{3-7i}-\frac{2+3i}{2+5i}+(1-i)^3-i^{23}\).