3. Функция \(f(x)\) задана на множестве всех действительных чисел и обладает следующим свойством: для любого \(x\in\mathbb R\) выполняется равенство \(f(x+3)=f(x)\). На промежутке \([0;3)\) функция задана следующим образом: \(f(x)=x^2\), если \(0\le x<1\); \(f(x)=\frac1x\), если \(1\le x<2\); \(f(x)=2\), если \(2\le x<3\). Выполните задания: 1) Найдите \(f(7)\). 2) Найдите \(f(-1)\). 3) Постройте график функции \(f(x)\) на отрезке \([-6;6]\). 4) Укажите точки экстремума и экстремумы функции. 5) Является ли число 6 периодом функции \(f(x)\)? Ответ обоснуйте.

По периодичности с периодом 3: \(f(7)=f(7-6)=f(1)=\frac11=1\).

\(f(-1)=f(-1+3)=f(2)=2\).

На каждом отрезке длины 3 график повторяется. На \([-6;6]\) он состоит из повторяющихся участков: парабола \(y=(x-3k)^2\) при \(3k\le x<3k+1\), ветвь \(y=1/(x-3k)\) при \(3k+1\le x<3k+2\) и горизонтальный участок \(y=2\) при \(3k+2\le x<3k+3\), где \(k=-2,-1,0,1\). В точке \(x=6\) значение равно 0.

На чертеже открытые кружки показывают, что точка с высотой 2 не входит в параболический участок; закрашенные кружки обозначают включённые точки.

Минимум функции равен 0 и достигается при \(x=3k\), \(k\in\mathbb Z\). Максимум равен 2 и достигается при \(x\in[3k+2;3k+3)\), \(k\in\mathbb Z\). На этих участках функция постоянна, поэтому каждая их точка является точкой локального максимума; точки \(x=3k\) — точки минимума.

Да. Так как период равен 3, то \(f(x+6)=f((x+3)+3)=f(x+3)=f(x)\). Число 6 — положительный период функции.