3. Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC равна 9. На гипотенузе взята точка M так, что AM : MB = 1 : 2. Найди CM, если BC = 3.

Так как \(AM:MB=1:2\) и \(AB=9\), весь отрезок разделён на 3 равные части:

\(AM=3\), \(MB=6\).

Поскольку \(AB\) — гипотенуза, прямой угол находится при \(C\). Применим теорему Пифагора в треугольнике \(ABC\):

\(AC^2=AB^2-BC^2=9^2-3^2=81-9=72\), поэтому \(AC=6\sqrt2\).

Расположим точки на координатной плоскости: \(A=(0,0)\), \(B=(9,0)\). Тогда из условий \(AC=6\sqrt2\) и \(BC=3\) получаем для проекции точки \(C\) на \(AB\) расстояние от \(A\), равное \(8\), а высота к \(AB\) равна \(2\sqrt2\). Точка \(M=(3,0)\).

Тогда \(CM^2=(8-3)^2+(2\sqrt2)^2=25+8=33\), следовательно, \(CM=\sqrt{33}\).

Ответ: \(\sqrt{33}\).