4. В треугольнике известны стороны b = √58 и c = 7√2. Угол E, лежащий против стороны b, равен 45°. Найди третью сторону треугольника.

Обозначим третью сторону через \(e\). Угол \(E=45^\circ\) лежит против стороны \(b\), поэтому по теореме косинусов:

\(b^2=e^2+c^2-2ec\cos E\).

Подставим значения: \(58=e^2+(7\sqrt2)^2-2\cdot e\cdot7\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\).

Упростим: \(58=e^2+98-14e\), откуда \(e^2-14e+40=0\).

Разложим на множители: \((e-4)(e-10)=0\), значит, возможны \(e=4\) или \(e=10\). Оба значения удовлетворяют неравенствам треугольника с данными сторонами.

Ответ: 4 или 10.