3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 24 см. Квадрат построен в треугольнике так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. Найдите сторону квадрата.

По указанным данным сторону квадрата однозначно найти нельзя: она зависит не только от гипотенузы, но и от длин катетов (или высоты к гипотенузе).

Например, если катеты равны 12 см и \(12\sqrt{3}\) см, гипотенуза равна 24 см, а высота к ней — \(6\sqrt{3}\) см. Для квадрата, одна сторона которого лежит на гипотенузе, из подобия треугольников получается \(s=ch/(c+h)\), где \(c\) — гипотенуза, \(h\) — высота. Тогда \(s=24\cdot6\sqrt{3}/(24+6\sqrt{3})\).

При других катетах с той же гипотенузой получится другая высота и, соответственно, другая сторона квадрата. Нужны длины катетов либо высота к гипотенузе.