3) Градусная мера угла между биссектрисой тупого угла параллелограмма и высотой, проведенной из вершины этого угла равна 25°. Вычислите градусную меру меньшего угла параллелограмма.

Решение:

Пусть в параллелограмме ABCD, \( \angle B \) — тупой угол. Проведём биссектрису BL и высоту BH из вершины B. По условию, \( \angle LBH = 25^{\circ} \).

Так как BL — биссектриса \( \angle B \), то \( \angle CBL = \angle ABL = \frac{\angle B}{2} \).

Высота BH перпендикулярна стороне AD, значит \( \angle BHA = 90^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике ABH \( \angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABH \).

Угол между биссектрисой и высотой \( \angle LBH = |\angle CBL - \angle CBH| = 25^{\circ} \).

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \( 180^{\circ} \). Следовательно, \( \angle A + \angle B = 180^{\circ} \).

Рассмотрим случай, когда биссектриса и высота проведены из вершины тупого угла. Пусть это угол B. Биссектриса BL и высота BH. Угол между ними \( \angle LBH = 25^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ABH \), где \( \angle AHB = 90^{\circ} \). \( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle A \).

Угол \( \angle B = 2 \angle ABL \). Угол \( \angle LBH = | \angle ABL - \angle ABH | = 25^{\circ} \).

Рассмотрим другой случай, где угол между биссектрисой тупого угла и высотой, проведенной из той же вершины, равен \( 25^{\circ} \). Пусть это угол B. \( \angle B = 2 \angle ABL \). \( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle A \).

\( \angle LBH = | \angle ABL - \angle ABH | = 25^{\circ} \).

\( \angle B = 180^{\circ} - \angle A \).

\( \angle ABL = \frac{180^{\circ} - \angle A}{2} = 90^{\circ} - \frac{\angle A}{2} \).

\( \angle LBH = | 90^{\circ} - \frac{\angle A}{2} - (90^{\circ} - \angle A) | = | \frac{\angle A}{2} | = 25^{\circ} \).

Значит, \( \angle A = 50^{\circ} \).

Тогда \( \angle B = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} \).

Меньший угол параллелограмма равен \( \angle A = 50^{\circ} \).

Ответ: 50°.