4) Длины сторон параллелограмма 6 и 10. Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен 30°. Вычислите сумму длин высот параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм ABCD. Стороны \( a=10 \) и \( b=6 \). Проведем высоты из вершины тупого угла B. Пусть они проведены к сторонам AD и AB. Обозначим высоты как \( h_a \) (к стороне AD) и \( h_b \) (к стороне AB).

Угол между высотами \( h_a \) и \( h_b \) равен \( 30^{\circ} \). Этот угол равен углу параллелограмма, прилежащему к той вершине, из которой проведены высоты, если высота проведена к большей стороне, и \( 180^{\circ} \) минус этот угол, если к меньшей.

Рассмотрим угол между высотами. Пусть \( h_a \) — высота к стороне AD, \( h_b \) — высота к стороне AB. Угол между ними равен \( 30^{\circ} \). Этот угол равен острому углу параллелограмма, то есть \( \angle A = 30^{\circ} \) или \( \angle B = 30^{\circ} \).

Из условия, высоты проведены из вершины тупого угла. Значит, угол между высотами равен углу, смежному с тупым углом, то есть острому углу. Следовательно, один из углов параллелограмма равен \( 30^{\circ} \). Так как из тупого угла проведены высоты, то острый угол — \( 30^{\circ} \).

В параллелограмме \( \angle A = 30^{\circ} \), \( \angle B = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ} \).

Высота \( h_a \) проведена к стороне \( a = 10 \), высота \( h_b \) проведена к стороне \( b = 6 \).

Площадь параллелограмма S можно выразить двумя способами: \( S = a \cdot h_a = b \cdot h_b \).

Также площадь параллелограмма равна \( S = a \cdot b \sin(\angle A) \).

\( S = 10 \cdot 6 \sin(30^{\circ}) = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30 \).

Теперь найдём высоты:

\( h_a = \frac{S}{a} = \frac{30}{10} = 3 \).

\( h_b = \frac{S}{b} = \frac{30}{6} = 5 \).

Сумма длин высот: \( h_a + h_b = 3 + 5 = 8 \).

Ответ: 8.