5) Через вершины треугольника АВС провели прямые, параллельные противоположным сторонам треугольника. Эти прямые попарно пересекаются в точках М, N, P (рис. 29). Вычислите периметр треугольника АВС, если сумма периметров всех получившихся при этом параллелограммов равна 56.

Решение:

Пусть дан треугольник ABC. Через вершины A, B, C проведены прямые, параллельные противоположным сторонам. Эти прямые образуют новый треугольник MNP, в который вписан треугольник ABC. Треугольник ABC делит параллелограммы ABMC, BCNP, CAPN на два равных треугольника. Построение этих прямых приводит к тому, что точки M, N, P являются серединами сторон, или вершины треугольника MNP являются серединами сторон параллелограммов.

Из рисунка видно, что треугольник ABC подобен треугольнику MNP с коэффициентом подобия 1/2. Стороны треугольника MNP являются средними линиями треугольника ABC, если M, N, P - середины сторон.

Однако, условие гласит, что прямые параллельны противоположным сторонам. Это означает, что AB || NP, BC || MP, AC || MN.

Рассмотрим параллелограмм ABMC. Его периметр \( P_{ABMC} = 2(AB + BC) \).

Рассмотрим параллелограмм BCNP. Его периметр \( P_{BCNP} = 2(BC + AC) \).

Рассмотрим параллелограмм CAPN. Его периметр \( P_{CAPN} = 2(AC + AB) \).

Сумма периметров этих параллелограммов: \( P_{ABMC} + P_{BCNP} + P_{CAPN} = 2(AB + BC) + 2(BC + AC) + 2(AC + AB) = 4(AB + BC + AC) \).

Периметр треугольника ABC равен \( P_{ABC} = AB + BC + AC \).

По условию, сумма периметров равна 56.

\( 4 \cdot P_{ABC} = 56 \).

\( P_{ABC} = \frac{56}{4} = 14 \).

Ответ: 14.