3. Исполнитель РазДваТри преобразует число на экране. У исполнителя есть три команды, которым присвоены номера: 1. Прибавить 1. 2. Умножить на 2. 3. Прибавить 3. Первая команда увеличивает число на экране на 1, вторая умножает его на 2, третья увеличивает на 3. Программа для исполнителя РазДваТри — это последовательность команд. Сколько существует программ, которые преобразуют исходное число 3 в число 16 и при этом траектория вычислений не содержит чисел 6 и 12? Траектория вычислений — это последовательность результатов выполнения всех команд программы. Например, для программы 312 при исходном числе 6 траектория будет состоять из чисел 9, 10, 20.

Все команды увеличивают число, поэтому применим подсчёт числа путей к каждому значению. Пусть f(n) — количество программ, приводящих к числу n без прохождения через 6 и 12. Для разрешённых чисел считаем f(n)=f(n−1)+f(n−3)+f(n/2), если n чётно; слагаемое f(n/2) учитывает команду умножения на 2. Значения f(6) и f(12) полагаем равными нулю.

Последовательно получаем: f(3)=1, f(4)=1, f(5)=1, f(6)=0, f(7)=1, f(8)=2, f(9)=2, f(10)=5, f(11)=9, f(12)=0, f(13)=14, f(14)=23, f(15)=37, f(16)=74.

Ответ: 74 программы.