3. Используя результаты вычислений в задании 1б, постройте график функции \(f(x)=-x^2-4x+1\). Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, в которых \(f(x)<0\) и \(f(x)>0\); б) промежутки возрастания и убывания функции; наибольшее её значение.

Преобразуем выражение: \(f(x)=-(x+2)^2+5\). Парабола направлена ветвями вниз, её вершина — \((-2;5)\).

Нули найдём из уравнения \(-(x+2)^2+5=0\): \(x=-2\pm\sqrt5\). Приближённо это \(-4.236\) и \(0.236\). Поскольку ветви направлены вниз, функция положительна между корнями и отрицательна вне этого промежутка. До вершины функция возрастает, после неё убывает.

а) Нули: \(x=-2-\sqrt5\) и \(x=-2+\sqrt5\). \(f(x)>0\) при \(x\in(-2-\sqrt5;-2+\sqrt5)\); \(f(x)<0\) при \(x\in(-\infty;-2-\sqrt5)\cup(-2+\sqrt5;+infty)\).

б) Функция возрастает на \((-infty;-2)\) и убывает на \((-2;+infty)\). Наибольшее значение равно \(5\).

Ответ: нули \(-2\pm\sqrt5\); положительна между корнями, отрицательна вне них; возрастает до \(-2\), убывает после \(-2\); максимум \(5\).