3) Исследовать функцию и построить график. a) y=x³-2x²+x-3

3) Исследовать функцию и построить график:

a) \( y = x^3 - 2x^2 + x - 3 \)

1. Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \)
2. Производная: \( y' = 3x^2 - 4x + 1 \)
3. Критические точки: \( 3x^2 - 4x + 1 = 0 \)
   \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \)
   \( x_1 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
   \( x_2 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
4. Интервалы монотонности:
   • \( (-\infty; \frac{1}{3}) \) — функция возрастает
   • \( (\frac{1}{3}; 1) \) — функция убывает
   • \( (1; +\infty) \) — функция возрастает
5. Экстремумы:
   • \( x_{min} = 1 \)
   • \( x_{max} = \frac{1}{3} \)
6. Значения функции в экстремумах:
   • \( y(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 1 - 3 = 1 - 2 + 1 - 3 = -3 \) (минимум)
   • \( y(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} - 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} - 3 = \frac{1 - 6 + 9 - 81}{27} = \frac{-77}{27} \approx -2.85 \) (максимум)

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty; \frac{1}{3}) \) и \( (1; +\infty) \). Убывает на \( (\frac{1}{3}; 1) \). Точка минимума (1; -3). Точка максимума (\(\frac{1}{3}; -2.85\)).