3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум: f(x) = 2x³ - 6x + 1

Исследование функции \( f(x) = 2x^3 - 6x + 1 \)

1. Найдём производную функции:
   \( f'(x) = (2x^3 - 6x + 1)' = 6x^2 - 6 \).
2. Найдем точки, в которых производная равна нулю:
   \( 6x^2 - 6 = 0 \)
   \( 6x^2 = 6 \)
   \( x^2 = 1 \)
   \( x = ± 1 \).
3. Определим знаки производной на интервалах:
   
   • При \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( f'(-2) = 6(-2)^2 - 6 = 6(4) - 6 = 24 - 6 = 18 > 0 \). Функция возрастает.
   • При \( -1 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \( f'(0) = 6(0)^2 - 6 = -6 < 0 \). Функция убывает.
   • При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \( f'(2) = 6(2)^2 - 6 = 6(4) - 6 = 24 - 6 = 18 > 0 \). Функция возрастает.
4. Найдем значения функции в точках экстремума:
   
   • Точка \( x = -1 \) — максимум: \( f(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 1 = 2(-1) + 6 + 1 = -2 + 6 + 1 = 5 \).
   • Точка \( x = 1 \) — минимум: \( f(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 1 = 2 - 6 + 1 = -3 \).

Вывод:

• Функция возрастает на интервалах \( (-∞, -1] \) и \( [1, +∞) \).
• Функция убывает на интервале \( [-1, 1] \).
• Точка \( x = -1 \) является точкой максимума, \( f_{max} = 5 \).
• Точка \( x = 1 \) является точкой минимума, \( f_{min} = -3 \).