5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = -x²+2x+3; y = 0; x = 0; x = 2.

Вычисление площади фигуры

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = -x^2 + 2x + 3 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) и \( x = 2 \), вычисляется с помощью определенного интеграла:

\( S = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x + 3) dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 3x \right]_{0}^{2} \)

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{0}^{2} \)

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\( S = \left( -\frac{2^3}{3} + 2^2 + 3(2) \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 3(0) \right) \)

\( S = \left( -\frac{8}{3} + 4 + 6 \right) - (0) \)

\( S = -\frac{8}{3} + 10 \)

\( S = \frac{-8 + 30}{3} \)

\( S = \frac{22}{3} \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{22}{3} \) квадратных единиц.