3. Исследуйте функцию и постройте ее график. f(x) = -x² + 5x + 4.

Исследование функции \( f(x) = -x^2 + 5x + 4 \) и построение графика:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
2. Четность/Нечетность: \( f(-x) = -(-x)^2 + 5(-x) + 4 = -x^2 - 5x + 4 \). \( f(-x) \) не равно \( f(x) \) и \( -f(x) \), значит, функция ни четная, ни нечетная.
3. Пересечение с осями координат:
   • С осью Oy (при \( x=0 \)): \( f(0) = -(0)^2 + 5(0) + 4 = 4 \). Точка пересечения: (0, 4).
   • С осью Ox (при \( y=0 \)): \( -x^2 + 5x + 4 = 0 \). Найдём корни квадратного уравнения. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-1)(4) = 25 + 16 = 41 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{41} \). Корни: \( x_1 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{-2} = \frac{5 - \sqrt{41}}{2} \) и \( x_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{-2} = \frac{5 + \sqrt{41}}{2} \). \( \sqrt{41} \approx 6.4 \). \( x_1 \approx \frac{5 - 6.4}{2} = -0.7 \), \( x_2 \approx \frac{5 + 6.4}{2} = 5.7 \). Точки пересечения: (\(\frac{5 - \sqrt{41}}{2}\), 0) и (\(\frac{5 + \sqrt{41}}{2}\), 0).
4. Вершина параболы: Функция является квадратичной \( f(x) = ax^2 + bx + c \) с \( a = -1 < 0 \), ветви параболы направлены вниз. Координата x вершины: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2(-1)} = \frac{5}{2} = 2.5 \). Координата y вершины: \( y_в = f(2.5) = -(2.5)^2 + 5(2.5) + 4 = -6.25 + 12.5 + 4 = 10.25 \). Вершина параболы: (2.5, 10.25).
5. Монотонность:
   • Функция возрастает на интервале \( (-\infty; 2.5] \) (так как \( a < 0 \)).
   • Функция убывает на интервале \( [2.5; +\infty) \).
6. Экстремумы: В точке \( x = 2.5 \) функция имеет максимум \( y_{max} = 10.25 \).

Построение графика:

График функции \( f(x) = -x^2 + 5x + 4 \) — парабола с ветвями, направленными вниз. Вершина находится в точке (2.5, 10.25). Парабола пересекает ось Oy в точке (0, 4) и ось Ox в точках приблизительно (-0.7, 0) и (5.7, 0).

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке (2.5, 10.25), ветви направлены вниз.