3. Из концов диаметра AB и из центра O данной окружности проведены прямые AA₁, BB₁ и OO₁, перпендикулярные диаметру AB, которые пересекают касательную b в точках A₁, B₁ и O₁. Найдите длину отрезка AA₁, если BB₁ = 15 см и OO₁ = 12 см.

Поскольку O — середина диаметра AB, высота до прямой b, измеренная по перпендикулярам к AB, изменяется линейно. Поэтому ориентированная высота из O равна полусумме ориентированных высот из A и B. В стандартной конфигурации, когда точки лежат по одну сторону от b:

\(OO_1=\frac{AA_1+BB_1}{2}\).

Подставим данные: \(12=\frac{AA_1+15}{2}\). Тогда \(AA_1+15=24\), следовательно, \(AA_1=9\) см.

Ответ: 9 см.