3. Из концов диаметра PT и из центра O данной окружности проведены прямые PP₁, TT₁ и OO₁, перпендикулярные диаметру PT, которые пересекают касательную b в точках P₁, T₁, O₁. Найдите длину отрезка TT₁, если PP₁ = 7 см и OO₁ = 15 см.

Поскольку \(O\) — середина диаметра \(PT\), расстояние от O до касательной b равно среднему арифметическому расстояний от P и T до этой прямой. Так как все три точки находятся по одну сторону касательной, имеем:

\(OO_1=\dfrac{PP_1+TT_1}{2}\).

Подставим данные и решим:

\(15=\dfrac{7+TT_1}{2}\), поэтому \(30=7+TT_1\), откуда \(TT_1=23\) см.

Ответ: 23 см.