3. Из точки A к окружности проведены касательные AN и AP, при этом ∠NAP = 120°. Найдите длину отрезков AN и AP, если радиус окружности равен 9 см.

Решение:

Дано:

Окружность с центром O, радиус r = 9 см.

AN и AP — касательные к окружности.

\( \angle NAP = 120^{\circ} \).

Найти: AN, AP.

Решение:

1. Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Следовательно, AN = AP.
2. Рассмотрим четырехугольник ANOP, где O — центр окружности. Углы \( \angle ANO \) и \( \angle APO \) равны \( 90^{\circ} \), так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.
3. Сумма углов в четырехугольнике равна \( 360^{\circ} \). Поэтому \( \angle NOP = 360^{\circ} - \angle NAP - \angle ANO - \angle APO = 360^{\circ} - 120^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 60^{\circ} \).
4. Рассмотрим треугольник ANO. Он прямоугольный. \( OA \) — гипотенуза. \( ON \) — катет (радиус окружности, ON = 9 см).
5. Так как \( \angle NOP = 60^{\circ} \), то \( \angle AON = \frac{1}{2} \angle NOP = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
6. В прямоугольном треугольнике ANO: \( \tan(\angle AON) = \frac{AN}{ON} \).
7. \( \tan(30^{\circ}) = \frac{AN}{9} \).
8. \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{AN}{9} \).
9. \( AN = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \) см.
10. Так как AN = AP, то AP = \( 3\sqrt{3} \) см.

Ответ: AN = AP = \( 3\sqrt{3} \) см.