5. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 15 см, а высота, опущенная на основание, равна 12 см. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

Решение:

Дано:

Равнобедренный треугольник ABC.

AB = AC = 15 см (боковые стороны).

BH = 12 см (высота, опущенная на основание AC).

Найти: r (радиус вписанной окружности).

Решение:

1. Сначала найдем основание BC треугольника ABC. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, также является медианой. Следовательно, H — середина BC, и BH \(⊥\) AC.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).
3. \( 15^2 = AH^2 + 12^2 \).
4. \( 225 = AH^2 + 144 \).
5. \( AH^2 = 225 - 144 = 81 \).
6. \( AH = \sqrt{81} = 9 \) см.
7. Теперь найдем основание BC. Так как BH — медиана, то BC = 2 \(\) HC. Однако, BH — высота, опущенная на основание, что означает, что B — вершина, а AC — основание. Значит, BH — высота на AC. H лежит на AC.
8. В равнобедренном треугольнике ABC, если BH — высота, опущенная на основание AC, то BH \(⊥\) AC.
9. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. \( AB = 15 \) см, \( BH = 12 \) см.
10. По теореме Пифагора: \( AH^2 + BH^2 = AB^2 \).
11. \( AH^2 + 12^2 = 15^2 \).
12. \( AH^2 + 144 = 225 \).
13. \( AH^2 = 225 - 144 = 81 \).
14. \( AH = \sqrt{81} = 9 \) см.
15. Основание треугольника AC = 2 \(\) AH = 2 \(\) 9 = 18 см.
16. Найдем площадь треугольника S. \( S = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times AC \times BH = \frac{1}{2} \times 18 \times 12 = 9 \times 12 = 108 \) кв. см.
17. Найдем полупериметр треугольника p. \( p = \frac{AB + AC + BC}{2} \). В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 15, основание равно 18.
18. \( p = \frac{15 + 15 + 18}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) см.
19. Радиус вписанной окружности находится по формуле \( r = \frac{S}{p} \).
20. \( r = \frac{108}{24} \).
21. \( r = \frac{108 \div 12}{24 \div 12} = \frac{9}{2} = 4.5 \) см.

Ответ: Радиус вписанной в треугольник окружности равен 4.5 см.