Дополнительное задание. Прямоугольная трапеция с основаниями а и b описана около окружности. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Дано:

Прямоугольная трапеция ABCD (AD || BC, \( \angle A = \angle D = 90^{\circ} \)).

Основания: AD = a, BC = b.

Трапеция описана около окружности.

Найти: Площадь трапеции S.

Решение:

1. Для того чтобы трапеция была описана около окружности, сумма противоположных боковых сторон должна быть равна сумме оснований.
2. Пусть AB — высота трапеции. Так как трапеция прямоугольная, то AB = h, где h — высота трапеции.
3. Условие описанной трапеции: \( AB + CD = AD + BC \).
4. \( h + CD = a + b \).
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник BFC, где F — точка на AD такая, что BCFA — прямоугольник. Тогда AF = BC = b, а FC = AB = h.
6. \( FD = AD - AF = a - b \).
7. В прямоугольном треугольнике BFD (или CFE, где E — точка на AD): \( CD^2 = FC^2 + FD^2 \) (если AB < AD).
8. \( CD^2 = h^2 + (a-b)^2 \).
9. Подставим в условие описанной трапеции: \( h + \sqrt{h^2 + (a-b)^2} = a + b \).
10. \( \sqrt{h^2 + (a-b)^2} = a + b - h \).
11. Возведем обе части в квадрат: \( h^2 + (a-b)^2 = (a + b - h)^2 \).
12. \( h^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a+b)^2 - 2h(a+b) + h^2 \).
13. \( h^2 + a^2 - 2ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 2ah - 2bh + h^2 \).
14. \( -2ab = 2ab - 2ah - 2bh \).
15. \( 4ab = 2ah + 2bh \).
16. \( 2ab = ah + bh = h(a+b) \).
17. \( h = \frac{2ab}{a+b} \).
18. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \times h \).
19. Подставим найденное значение h: \( S = \frac{a+b}{2} \times \frac{2ab}{a+b} \).
20. \( S = ab \).

Примечание: Если a < b, то FD = b - a, но \( (b-a)^2 = (a-b)^2 \), поэтому результат будет тем же.

Ответ: Площадь трапеции равна ab.