3. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние a, проведены две наклонные под углом 45° к плоскости, а их проекции составляют между собой угол 120°. Вычислите расстояние между концами наклонных.

Каждая наклонная образует с перпендикуляром к плоскости прямоугольный треугольник. Поскольку угол наклонной с плоскостью равен 45°, длина каждой её проекции равна \(a\).

Проекции имеют длины \(a\) и образуют угол 120°. По теореме косинусов расстояние между их концами в плоскости равно \(\sqrt{a^2+a^2-2a^2\cos120^\circ}=a\sqrt3\). Концы наклонных находятся на одинаковой высоте над плоскостью, поэтому это же расстояние является расстоянием между концами наклонных.

Ответ: \(a\sqrt3\).