3. Изобразить эскиз графика функции y = x^−7. а) Выяснить, на каких промежутках функция убывает. б) Сравнить числа: (1/5)^−7 и 1; (3,2)^−7 и (3√2)^−7.

График функции \(y=x^{-7}=\dfrac1{x^7}\). Область определения: \(x\ne0\), область значения: \(y\ne0\). График имеет асимптоты \(x=0\) и \(y=0\), располагается в III и I координатных четвертях.

а) \(y'= -7x^{-8}=-\dfrac7{x^8}<0\) при всех \(x\ne0\). Следовательно, функция убывает на каждом промежутке области определения:

\((-\infty;0)\) и \((0;+\infty)\).

б) Так как \(\left(\dfrac15\right)^{-7}=5^7=78125\), то \(\left(\dfrac15\right)^{-7}>1\).

Поскольку \(3,2<3\sqrt2\) и функция \(x^{-7}\) убывает при \(x>0\), получаем \((3,2)^{-7}>(3\sqrt2)^{-7}\).

Ответ: \((1/5)^{-7}>1\); \((3,2)^{-7}>(3\sqrt2)^{-7}\).