3. Как известно, девятнадцатилетний Михаил Ломоносов отправился из Холмогор (Архангельская область) в Москву для поступления в Славяно-греко-латинскую академию. Первые три дня пути он шёл, догоняя обоз, который отправился из Холмогор. Сколько километров прошёл М. Ломоносов, догоняя обоз, если в первый день он преодолел \(\frac{10}{29}\) всего пути, во второй день \(\frac{4}{5}\) пути, пройденного в первый день, а в третий день остальные 66 км?

Решение:

1. Найдем расстояние, пройденное во второй день: \( \frac{10}{29} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{29} \) всего пути.
2. Найдем, какую часть пути М. Ломоносов прошел за первые два дня: \( \frac{10}{29} + \frac{8}{29} = \frac{18}{29} \) всего пути.
3. Найдем, какую часть пути он прошел в третий день: \( 1 - \frac{18}{29} = \frac{11}{29} \) всего пути.
4. Известно, что в третий день он прошел 66 км. Составим пропорцию: \( \frac{11}{29} \) пути — 66 км, \( 1 \) путь — \( x \) км.
5. Решим пропорцию: \( x = \frac{66 \cdot 29}{11} = 6 \cdot 29 = 174 \) км.

Ответ: 174 км.